Có rất nhiều bài báo, rất nhiều những khảo cứu công phu viết về con số 0 trong thế kỉ này. Quả tình, đó là con số kì diệu. Có những câu hỏi tưởng chừng ngớ ngẩn, chẳng hạn, câu hỏi “số không có phải là con số?”, nhưng đó lại là câu hỏi gây nên những trả lời dị biệt, và ở mỗi khuynh hướng tiếp cận khác nhau, câu trả lời khẳng hoặc phủ định đều có những hợp lí riêng của nó. Một số ý kiến cho rằng nó không phải là con số, bởi nó chỉ phát triển thực sự trong những thế kỉ gần đây, đặc biệt, là trong Toán học hiện đại, và rất nhiều thế kỉ trôi qua, người ta đã không cần đến nó từ các nhu cầu bình nhật như cân đo đong đếm. Điều đó cũng tương tự như “Tánh Không” của hiện hữu, là khái niệm khó lòng chấp nhận được đối với đại đa số, khi mà phần lớn những tầm cầu khảo sát làm nên văn minh nhân loại đã dựa vào cái có của hiện tượng.

Ngay cả người Hy lạp cổ xưa, nơi xuất phát nền văn minh phương Tây, họ vẫn không có khái niệm "số không", mặc dù họ rất cần có một con số để chỉ sự vắng mặt của một số vật thể, hay đồ dùng nào đó.

Những khảo cứu gần đây đã chứng tỏ rằng, ý niệm về số không (để diễn tả cái “không” hiện hữu) đã xuất hiện từ khá lâu trước Công nguyên, từ Ai Cập, hay từ Trung quốc ; tuy nhiên, rõ ràng nhất, là sự xuất hiện của số không với kí hiệu tròn (0) từ Ấn Độ, trong công trình của nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta, vào năm 628 (Brahmasputha Siddhanta – Sự khơi mở Vũ trụ) [1]. Còn trước đó, người ta vẫn không thể xác nhận số 0 trong nền Toán học Ấn Độ xuất hiện tự khi nào, nhưng những xác chứng của ngành Khảo cổ học đã cho thấy rằng, vào năm 256 trước Công nguyên, số 0 và hệ thống số thập phân đã xuất hiện trên các văn bản bằng đá thời A-Dục [2].

Từ Śūnyam xuất hiện trong các văn bản và trong Toán học Ấn Độ khá lâu trước khi ngài Long Thọ (Nāgārjuna) nêu lên thuật ngữ Śūnyatā (Tánh Không) trong luận thuyết của mình. Śūnyam thường được dịch sang tiếng Anh (tùy theo lúc) bằng các từ như Void, Vacant, Empty, ta có thể hiểu với hai nghĩa thông thường trong Việt ngữ là “giá trị không”, hoặc “không có gì”.

Từ Śūnyam đến Śūnyatā, ta đã đi qua một lộ trình dằng dặc từ chỗ nghi ngờ sự tồn tại đến khẳng định sự tồn tại của “không”, và từ đó, mở ra những chân trời bao la của ý niệm, những chân trời chỉ có thể tiếp cận theo nhiều hướng khác nhau, nhưng không thể một lần nói hết. Ngày nay, Tánh không luận đã nghiễm nhiên trở thành một luận thuyết đẹp và sâu đến nỗi những trí tuệ siêu việt luôn bị hấp dẫn và họ ngày càng khám phá ra biết bao huyền nhiệm trong mối tương ưng giữa luận thuyết và chiều sâu tâm hồn của những trí tuệ đó, cái chiều sâu không thể định danh, và sâu đến nỗi bất khả diễn bày. Cũng hoàn toàn tương tự như vậy, từ chỗ không có số 0, bất cần đến nó, nền văn minh Hy-La đã thực sự bị cuốn hút bởi số 0 đến từ phương Đông. Số 0 đó đã tồn tại theo nhiều kí dạng khác nhau, nhưng trải qua nhiều nghiên cứu, nó đã kết hợp với 9 chữ số từ 1 đến 9 để tạo ra một vũ trụ Toán học muôn màu. Ngày nay, số 0, hoặc cái không có gì, lại không thể thiếu được cả trong Toán học thuần túy (Pure Math.) lẫn trong Toán học ứng dụng (Applied Math.). Sau khi bị chinh phục bởi hệ thống số của người phương Đông, các nhà Toán học phương Tây đã có đủ phương tiện để trí tưởng tượng bay bổng, các công trình lần lượt ra đời như vũ bão.

Trong tác phẩm Brahmasputha Siddhanta (đã nói trên), Brahmagupta đã chỉ ra được một số tính chất đẹp mang tính cơ sở của số 0, ngoại trừ tính chất “0 chia 0 bằng 0”, là tính chất mà toán học hiện đại không đồng ý, bởi vì, “0 chia 0 thì không được xác định”.

Cho đến nay, ta biết rằng, nhờ số 0, ta định nghĩa được các số nguyên âm, và từ đó, dẫn đến các tập hữu tỉ, thực, phức, nghĩa là toàn bộ các tập hợp số. Số 0 và vô tận trở thành hai khái niệm đối ngẫu, trên cơ sở, một số hữu hạn chia cho một đại lượng tiến dần đến 0 thì trở thành đại lượng tiến dần ra vô tận (âm hoặc dương). Trong một cách tiếp cận luận thuyết Tánh Không, ta biết rằng, cái không có gì lại hàm chứa cả vô biên. Quả táo rơi ư? Bằng quá nhiều nguyên nhân, mà quả táo tựu thành, bởi có những hoa táo không thành trái ngọt do không thụ phấn, hoặc bởi một cơn trở trời bất thuận, nó đành phải bay vào hư không rồi tan thành từng mảnh nhỏ, chẳng để lại dấu vết gì. Nhưng bởi sự ngẫu hợp của nhiều tác nhân, quả táo đã hình thành. Từng quả táo đã đi vào đời sống này theo nhiều thể điệu dâng tặng khác nhau, hoặc là món quà làm đẹp trong phòng khách, hoặc trở thành dưỡng chất của loài người, hoặc biến thành thứ rượu ngọt trần gian với khả năng dẫn đến chiến tranh, sáng tạo hoặc tình huynh đệ. Rồi một ngày kia, quả táo xuất hiện trong cái nhìn đăm đăm sâu thẳm của nhà bác học Newton. Cũng chỉ là những quả táo thôi, nhưng bằng chiêm nghiệm lặp đi lặp lại của nhà bác học, quả táo lại trở thành tác nhân khơi mở một thế giới tràn trề. Ấy là, định luật về trọng trường ra đời, đặt cơ sở cho những thành tựu khoa học vĩ đại mà nhân loại phải mang ơn.

Số 0, cái không tồn tại, đem chia cho 0, nghĩa là chia đều cho cái không có gì, thì trở thành cái bất khả tri (không xác định). Tuy nhiên, khi các định nghĩa và tính chất của Giới hạn trong Giải tích học phát triển (vào thế kỉ 18), thì cái không chia không kia tùy nơi, tùy lúc mà trở thành một giá trị hữu hạn nào đó, hoặc thậm chí, là giá trị vô hạn.

Hoàn toàn có lý do khi Ankur Barua, trong một tiểu luận nhan đề “Applied Buddhism in Modern Mathematics – Phật giáo ứng dụng [3] trong Toán học hiện đại – , sau khi tham khảo một số sách về lịch sử Toán học, đã viết : Nāgārjuna’s Doctrine of Emptiness or Śūnyatā had paved the way for the development of the concept of ‘nullity’ and ‘infinity’ in modern mathematics – Tánh Không luận của Nāgārjuna đã mở đường cho sự phát triển những khái niệm “không” và “vô hạn” trong Toán học hiện đại.

Số 0 trong toán học, ngay kí dạng tròn của nó đã thể hiện sự tròn đầy, trong Toán học, nó kết hợp với 9 chữ số kia để tạo thành hệ thống số biểu diễn tất cả các số từ tự nhiên đến hữu tỉ, nó kết hợp với chữ số 1 để mã hóa tất cả các con số và câu lệnh trong máy tính, cùng với các quy luật của hệ nhị phân, tạo nên một thời kì sáng chói của liên lạc viễn thông, của khoa học vũ trụ, … Nó là căn bản, mang tính trung gian, mà nếu không có nó, các định nghĩa cho những tập hợp chứa tập hợp số nguyên dương sẽ không tựu thành. Không nhà Toán học nào lại có thể tưởng tượng được trong Toán học ngày nay lại thiếu vắng số 0, hoặc tập rỗng.

“Nên hiểu không là nhân

Tạo thành nhất thiết pháp.

Còn phủ nhận tánh không,

Là phủ nhận các pháp.”

Từ không, lại có thể xây dựng lại cái có. Cái rỗng không là tự tính, nhưng nó được xây dựng thành cái có chính bởi sự tương quan cùng những cái không khác. Tập rỗng, là tập hợp không chứa phần tử nào cả, nhưng lại có thể xây dựng nên cơ sở của lí thuyết tập hợp. Nhà Toán học John Von Neumann [4] đã đề nghị một phương pháp sau đây (1923) để xây dựng lại tập hợp các số tự nhiên từ tập hợp rỗng. Bản số (cardinality) của một tập hợp là số phần tử của tập hợp đó. Một tập hợp có thể có bản số 0, bản số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được hoặc vô hạn không đếm được. Các con số, mà bản thân chúng được nhiều nhà khoa học nhìn nhận là ý niệm phi vật lý, được xây dựng lại (theo John Von Neumann) một cách đệ quy như sau:

Số 0: Ø (tập rỗng) ;

Số 1: { Ø } (tập hợp chứa tập rỗng - bước xây dựng 1) ;

Số 2: { Ø, { Ø } } (tập hợp chứa 2 tập trước – bước xây dựng 2) ;

Số 3: { Ø, { Ø } , { Ø, { Ø }}} (tập hợp chứa 3 tập trước – bước xây dựng 3) ;

Số 4: { Ø, { Ø } , { Ø, { Ø } }, { Ø, { Ø } , { Ø, { Ø }}}}(tập hợp chứa 4 tập trước – bước xây dựng 4) ; …

Quá trình này được lặp lại mãi mãi. Dãy này được xây dựng làm sinh ra các tập hợp có bản số 0, 1, 2, 3, 4, v. v…. Nếu nói theo ngôn ngữ không toán học, có thể nói: Ta bắt đầu bằng sự trống rỗng, và tư duy về sự rỗng không đó. Hãy nghĩ đến cái có thể chứa trọn vẹn sự trống rỗng đó (bước 1). Và rồi, ta kết hợp giữa sự rỗng không với cái chứa sự rỗng không (bước 2), và cứ tiếp tục như thế. Rõ ràng là, chính sự quán tưởng đã làm nảy sinh ý niệm (tức là toán tử) tác động lên cái được quán tưởng.

Về mặt Toán học, dãy được xây dựng đệ quy như trên đẳng cấu với tập hợp số tự nhiên đã được thừa nhận trước đó.

Sự xây dựng đó còn đi xa hơn để tạo nên các cấu trúc toán học tưởng chừng như vắng mặt cả những con số - điều mà một người bình thường không tin nỗi. Quả vậy, Toán học hiện đại đã xây dựng những cấu trúc, những không gian tổng quát (tất nhiên, những không gian cũ mà học sinh THPT được dạy phải là trường hợp riêng của những không gian này), đến nỗi, nhiều nhà phân tích triết học về Toán học (Philosophy of Mathematics) đã gọi nó là “Toán học không con số”, chẳng hạn, Geoffrey Hellman với tác phẩm rất hay nhan đề “Mathematics without Numbers” (Oxford University Press, 1994).

Vấn đề trên của Toán học cũng gợi cho ta nhớ lại rằng, mặc dù Śūnyam xuất hiện từ trước Công nguyên khá lâu tại Ấn Độ, nhưng chính Nāgārjuna đã phát triển và biến nó thành phong phú trong khái niệm Śūnyatā, ở đó, các yếu lí lời dạy của Đức Phật được diễn bày, mà nếu hiểu được thâm lý của nó ở một mức độ tương đối khá, nhà nghiên cứu sẽ thấy được bản chất của hiện hữu, trong khoa học, và trong đời sống.

Để kết thúc những tản mạn này trong mối liên hệ giữa số không và Śūnyatā, tôi xin mượn lời của thầy Tuệ Sỹ [5] : “Một câu hỏi được đặt ra tất có mục đích muốn mở ra một chân trời mới cho tư tưởng. Tuy nhiên, bất cứ câu hỏi nào, như Long Thụ đã nói, nếu không được thiết lập trên thuyết tánh Không, thì nó đã đóng khung sẵn cho câu trả lời, và như thế, câu trả lời thực sự không trả lời gì cả.”

Đà Nẵng, tháng 6, 2011

Nguyễn Văn Nho
_________________________

Chú thích

[1] Algebra with Arithmetic of Brahmagupta and Bhaskara, bản dịch Anh Ngữ của Henry Thomas Colebrooke, London, 1817.

[2] Srinivasiengar, C.N. The History of Ancient Indian Mathematics, Calcutta, World Press Private Ltd, 1967. “Though the exact age of origin of ‘zero’ in Indian mathematics is still unknown, but the archeological evidence of ‘zero’ and ‘Decimal System of numerals’ during the Buddhist period were found on the Rock Edits of Ashoka (256 B.C.)”

[3] Xin nói thêm, thuật ngữ “Phật giáo ứng dụng” đã được Dr. Dipak Kumar Barua, đại học Hồng Kông, đề xuất lần đầu tiên. Nếu như Toán học thuần túy là mảnh đất cứ được khai phá mải để dựng nên một cấu trúc toàn thiện và khổng lồ (bằng phương pháp đứng trên vai của người khổng lồ, các thành tựu nối tiếp nhau ra đời, tuân thủ vẻ đẹp và tính chân xác của vấn đề), thì Toán học ứng dụng lẻo đẻo theo sau, rút tỉa một phần rất nhỏ của Toán học thuần túy để ứng dụng vào giảng dạy, khoa học, kĩ thuật và đời sống. Tuy nhiên, cũng có khi, một vấn đề thực tế đặt ra đã khiến các nhà Toán học (thuần túy) dựa vào đó để xây dựng nên một số mô hình Toán học đẹp và vững chải như một tòa nhà khang trang, dù khó lòng xây dựng nó trong các điều kiện lí tưởng như thế, nhưng rõ ràng là, đó là một mô hình kiến trúc thu hút những tâm hồn đầy tính thi ca của những nhà Toán học thuần túy. Chẳng hạn, xuất phát từ một bài toán thủy điện, nhà Toán học ứng dụng dựa trên các kết quả Tối ưu (Optimization), sau khi xác định xong hệ ràng buộc, họ nỗ lực xấp xỉ các kết quả tính toán, và đề ra phương án vận hành. Nhưng nhà làm Toán thuần túy không dừng lại ở đó, họ dựa vào đó để thêm thắt, đưa ra thêm nhiều giả thuyết để hệ ràng buộc lí tưởng hơn, và sau đó, dẫn đến các định lí và hệ quả. Đến đây, có thể đặt vấn đề : Nếu đã có thuật ngữ Applied Buddhism, một cách tự nhiên, hẳn phải có thuật ngữ Pure Buddhism. Và rằng, ta có thể hình dung, Pure Buddhism dành cho những nhà nghiên cứu, thích bay bổng trí tuệ trên những chân trời Chân, Thiện, Mỹ ; Pure Buddhism dành cho những tâm hồn khát khao Tuyệt đối, muốn đi, và mải mê đi trên con đường dần dà khai phóng trong mù sương muôn vạn nẽo đường về Lẽ thực, dành cho những con người khước từ trọn vẹn những con đường xanh đỏ nhân gian, họ âm thầm đối mặt với “đỉnh cao vùng Sơn thượng”, với vũ trụ bao la, nơi họ tìm thấy từ mối tương ưng với chiều sâu tâm thể.

[4] John von Neumann (1903 –1957), nhà Toán học sống tại Mỹ, gốc Do Thái (tại Hungary). Tên của ông ta được đặt cho một chương trình máy tính quan trọng, mà ngày nào quý vị cũng tiếp xúc nhưng có khi không biết, đó là chương trình kĩ thuật số (stored-program, chương trình được lưu trữ) thường trú trong CPU (trong cùng một vùng nhớ) để bảo lưu các lệnh (instruction) và dữ liệu (data), chương trình này được gọi là von Neumann architecture. Năm 1945, Von Neumann đã viết một bài báo có tính bước ngoặc với tựa: "Bản thảo đầu tiên về máy tính EDVAC " ("The First Draft of a Report on the EDVAC "), chứa đựng những ý tưởng về cầu trúc cơ bản mà một máy tính cần có. Bài báo này sau đó đã được phổ biến rộng rãi và ảnh hưởng mạnh đến sự phát triển của máy tính ở Mỹ và thế giới cho đến ngày nay.

[5] Tuệ Sỹ. Triết học về Tánh Không, Chương 3, An Tiêm, 1970.